Question

【題目】已知橢圓長軸的兩頂點為、，左、右焦點分別為、，焦距為，且，過且垂直于軸的直線被橢圓截得的弦長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）在雙曲線上取點異于頂點，直線與橢圓交于點，若直線、、、的斜率分別為、、、，試證明:為定值；

（3）在橢圓外的拋物線上取一點，若、的斜率分別為、，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）由，可得出，由題意得出點在橢圓上，將此點的坐標代入橢圓的方程，求出的值，即可得出橢圓的標準方程；

（2）設點、，根據直線的斜率公式，求得，，由與共線，得出，即可求出；

（3）設點，求得（且），（且），可得出（且），然后利用函數的單調性可得出的取值范圍.

（1），，所以，橢圓的方程為，

由于且垂直于軸的直線被橢圓截得的弦長為，則點在橢圓上，

所以， ，解得，，，

因此，橢圓的標準方程為；

（2）設點、，由（1）可知、、、，

則，得，，

，得，.

又，，可得，

因此，（定值）；

（3）設點，由，解得，

由點在橢圓外的拋物線上一點，則，

直線的斜率為（且），

直線的斜率為（且），

則（且），

則（且），

令，則且，設函數（且），

則函數在區間和上均為增函數，

當時，，即；

當時，.

因此，的取值范圍是.