Question

【題目】已知函數， ，其中為自然對數的底數．

（1）若，求曲線在點處的切線斜率；

（2）證明：當時，函數有極小值，且極小值大于．

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：（1）由，可得，故，即曲線在點處的切線斜率；（2）由在區(qū)間上是單調遞增函數，可得存在使得，使得在上單調遞減，在上單調遞增， 在區(qū)間上有極小值，設， ，利用導數研究函數的單調性，可得在上單調遞減，所以.

試題解析：（1）依題意， ， ，故，

即曲線在點處的切線斜率為；

證明：（2）因為，所以在區(qū)間上是單調遞增函數，

因為， ，

所以使得，

所以， ； ， ，

故在上單調遞減，在上單調遞增，

所以在區(qū)間上有極小值，

因為，所以，

設， ，

則 ，所以，

即在上單調遞減，所以，

即，故當時，函數有極小值，且極小值大于．