Question

【題目】已知正四面體的表面積為，為棱的中點(diǎn)，球為該正四面體的外接球，則過點(diǎn)的平面被球所截得的截面面積的最小值為______.

Answer 1

【答案】

【解析】

根據(jù)題意，根據(jù)正四面體的表面積求出棱長和正方體的邊長，再利用正方體的體對角線等于外接球的直徑，即可求出球的半徑，當(dāng)過點(diǎn)的截面到球心的距離最大距離時(shí)，截面圓的面積達(dá)最小值，最后利用球的截面的性質(zhì)求出截面圓的半徑，即可求出截面圓的面積最小值.

解：如圖所示，球為正四面體的外接球，即為正方體的外接球，

正四面體的表面積為，

設(shè)正四面體的棱長為，則，

解得：，

所以正方體的棱長為：，

設(shè)正四面體的外接球的半徑為，

則，即，

為棱的中點(diǎn)，過點(diǎn)作其外接球的截面，

當(dāng)截面到球心的距離最大值時(shí)，截面圓的面積達(dá)最小值，

此時(shí)球心到截面距離等于正方體棱長的一半，即，

可得截面圓的半徑為：，

所以截面圓的面積最小值為：.

故答案為：.