Question

如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，AB＝4，PA＝3，點A在PD上的射影為點G，點E在AB上，平面PEC⊥平面PDC.

（1）求證：AG∥平面PEC；
（2）求AE的長；
（3）求二面角E—PC—A的正弦值.（本題滿分14分）

Answer 1

（1）見解析。（2） （3）。

       
試題分析：解（1）證明：∵CD⊥AD，CD⊥PA

∴CD⊥平面PAD  ∴CD⊥AG，
又PD⊥AG
∴AG⊥平面PCD ……………………2分
作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD
∴EF⊥平面PCD，
∴EF∥AG
又AG面PEC，EF面PEC，
∴AG∥平面PEC ……………………4分
（2）由（Ⅰ）知A、E、F、G四點共面，又AE∥CD，
∴AE∥平面PCD。
∴AE∥GF。
∴四邊形AEFG為平行四邊形，∴AE＝GF。   ……………………………5分
∵PA＝3，AB＝4，∴PD＝5，AG＝，
又PA²＝PG•PD，∴PG    ………………………………………………7分
又，∴，∴ ………………………9分
（3）過E作EO⊥AC于點O，易知EO⊥平面PAC，
又EF⊥PC，∴OF⊥PC∴∠EFO即為二面角E—PC—A的平面角 …………11分
，
又EF＝AG
∴             …………………14分
點評：二面角的求法是立體幾何中的一個難點。我們解決此類問題常用的方法有兩種：①綜合法，綜合法的一般步驟是：一作二說三求。②向量法，運用向量法求二面角應注意的是計算。很多同學都會應用向量法求二面角，但結果往往求不對，出現的問題就是計算錯誤。