Question

（本小題滿分12分）
如圖1，在三棱錐P－A.BC中，PA.⊥平面A.BC，A.C⊥BC，D為側棱PC上一點，它的正(主)視圖和側(左)視圖如圖2所示．

(1) 證明：A.D⊥平面PBC；
(2) 求三棱錐D－A.BC的體積；
(3) 在∠A.CB的平分線上確定一點Q，使得PQ∥平面A.BD，并求此時PQ的長．

Answer 1

（1）見解析

(2)  ;
(3)

本題考查由三視圖求面積、體積，直線與平面平行的性質，直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力，邏輯思維能力，計算能力，是中檔題

（Ⅰ）證明AD垂直平面PBC內的兩條相交直線PC、BC，即可證明AD⊥平面PBC；
（Ⅱ）求出三棱錐的底面ABC的面積，求出高BC，再求三棱錐D-ABC的體積；
（Ⅲ）取AB的中點O，連接CO并延長至Q，使得CQ=2CO，點Q即為所求，證明PQ平行平面ABD內的直線OD，即可證明PQ∥平面ABD，在直角△PAQ中，求此時PQ的長．

(2)      

…… 8分
(3)取A.B的中點O，連接CO并延長至Q，使得CQ＝2CO，連接PQ，OD，點Q即為所求．
因為O為CQ的中點，D為PC的中點， PQ∥OD,
 PQ平面A.BD, OD平面A.BD       PQ∥平面A.BD
連接A.Q,BQ,
四邊形A.CBQ的對角線互相平分， 且A.C=BC,A.CBC,   
四邊形A.CBQ為正方形，CQ即為∠A.CB的平分線       
又A.Q=4，PA.平面A.BC