Question

【題目】已知在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E、M、N分別是BC、AE、D1C的中點，AD=AA1 ， AB=2AD
（Ⅰ）證明：MN∥平面ADD1A1
（Ⅱ）求直線AD與平面DMN所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）如圖，建立空間直角坐標系，設AD=1，則AB=2．∵DC⊥平面ADD1A1 ， ∴ =（0，2，0），就是平面ADD1A1的一個法向量．
，∴ ，∴ =0，
∴ ，∴ ．
（Ⅱ）設平面DMN的一個法向量為 ．
∴ ，∴ ．
取 = ．
∴sinθ= = ．
所以直線DA與平面ADD1A1 ， 所成角的正弦位值是 ．

【解析】（1）如圖，建立空間直角坐標系，設AD=1，則AB=2．由DC⊥平面ADD1A1 ， 可得 是平面ADD1A1的一個法向量．證明 =0，即可證明 ．（2）設平面DMN的一個法向量為 =（x，y，z）．利用 ，可得 ．利用sinθ= 即可得出．
【考點精析】關于本題考查的直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角，需要了解平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能得出正確答案．