Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C由圓弧C₁和圓弧C₂相接而成．兩相接點M，N均在直線x=5上，圓弧C₁的圓心是坐標原點O，半徑為r₁=13； 圓弧C₂過點A（29，0）．
（1）求圓弧C₂所在圓的方程；
（2）曲線C上是否存在點P，滿足PA=PO？若存在，指出有幾個這樣的點；若不存在，請說明理由；
（3）已知直線l：x-my-14=0與曲線C交于E、F兩點，當EF=33時，求坐標原點O到直線l的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據圓弧 C₁所在圓的方程為 x²+y²=169，可得M，N的坐標，從而可得直線AM的方程為 y-6=2（x-17），進而可求圓弧 C₂所在圓的圓心為 （14，0），圓弧C₂ 所在圓的半徑為=29-14=15，故可求圓弧C₂ 的方程；
（2）假設存在這樣的點P（x，y），則由PA=PO，得x²+y²+2x-29=0，分別與圓弧方程聯立，即可知這樣的點P不存在．
（3）因為 EF＞r₂，EF＞r₁，所以 E，F兩點分別在兩個圓弧上，根據直線l恒過圓弧 C₂的圓心（14，0），可得 ，從而得解．
解答：解：（1）圓弧 C₁所在圓的方程為 x²+y²=169，令x=5，解得M（5，12），N（5，-12）…2分
則直線AM的中垂線方程為 y-6=2（x-17），令y=0，得圓弧 C₂所在圓的圓心為 （14，0），
又圓弧C₂ 所在圓的半徑為=29-14=15，所以圓弧C₂ 的方程為（x-14）²+y²=225（x≥5）…5分
（2）假設存在這樣的點P（x，y），則由PA=PO，得x²+y²+2x-29=0 …8分
由，解得x=-70 （舍去） 9分
由，解得 x=0（舍去），
綜上知，這樣的點P不存在…10分
（3）因為 EF＞r₂，EF＞r₁，所以 E，F兩點分別在兩個圓弧上，
又直線l恒過圓弧C₂的圓心（14，0），所以 …13分
解得，即  …16分
點評：本題以圓為載體，考查圓的方程，考查曲線的交點，同時考查距離公式的運用，綜合性強．