Question

在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，

m

=（2b-

3

c，cosC），

n

=（

3

a，cosA），且

m

∥

n

．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求2cos²B+sin（A-2B）的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)

m

∥

n

和兩向量的坐標可求得(2b-

3

c)•cosA-

3

acosC=0，利用正弦定理把邊轉(zhuǎn)化成角的正弦，然后利用兩角和公式化簡整理求得cosA的值，進而求得A
（Ⅱ）把A的值代入，利用兩角和公式整理后，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得2cos²B+sin（A-2B）的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由

m

∥

n

得(2b-

3

c)•cosA-

3

acosC=0．
由正弦定理得2sinBcosA-

3

sinCcosA-

3

sinAcosC=0，2sinBcosA-

3

sin(A+C)=0．
∴2sinBcosA-

3

sinB=0．
∵A，B∈（0，π），
∴sinB≠0，cosA=

3

2

，
∴A=

π

6

．

（Ⅱ）解：∵A=

π

6

∴2cos²B+sin（A-2B）=1+cos2B+sin

π

6

cos2B-cos

π

6

sin2B
=

3

cos(2B+

π

6

)+1，
2cos2B+sin(A-2B)∈(1-

3

，1)．
2cos²B+sin（A-2B）的最小值為1-

3

.

點評：本題主要考查了三角形中的幾何計算，正弦定理的應用和兩角和公式的化簡求值．注意綜合運用三角函數(shù)的基礎公式，靈活解決三角形的計算問題．