Question

如圖：長方形所在平面與正所在平面互相垂直，分別為的中點．

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）試問：在線段上是否存在一點，使得平面平面？若存在，試指出點 
的位置，并證明你的結論；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）證明過程詳見試題解析；（Ⅱ）存在點，且時，使得平面平面.

試題分析：（Ⅰ）連結交于,連結，那么在中，有是的一條中位線.從而.又,所以平面；（Ⅱ）由題意易得平面,要探索是否存在點，使得平面平面，就是要考慮是否存在點，使得成立.
試題解析：（Ⅰ）證明：連結交于,連結.因為是的中點，是的中點.所以是的一條中位線，因此，又,所以平面.
（Ⅱ）存在點，且時，使得平面平面.證明如下：
因為是正三角形，是的中點，所以.
又因為.所以.由,所以平面.
又因為長方形中，要使得，則由與相似得到點是的中點.
所以,又因為,所以平面平面.