Question

【題目】在直角坐標系中，動圓與圓外切，且圓與直線相切，記動圓圓心的軌跡為曲線．

(1)求曲線的軌跡方程；

(2)設過定點的動直線與曲線交于兩點，試問：在曲線上是否存在點（與兩點相異），當直線的斜率存在時，直線的斜率之和為定值？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）答案見解析.

【解析】

（1）設，圓的半徑為，由動圓與圓外切，可得，又動圓與直線相切，所以，兩式結合消去即可得結果；（2）設出的坐標，

直線方程為，聯立直線與拋物線方程消去可得關于的一元二次方程，由韋達定理、斜率公式可得，,化為，由可得結果.

（1）設P（x，y），圓P的半徑為r，

因為動圓P與圓Q：（x－2）2＋y2＝1外切，

所以，①

又動圓P與直線x＝－1相切，所以r＝x＋1，②

由①②消去r得y2＝8x，

所以曲線C的軌跡方程為y2＝8x．

（2）假設存在曲線C上的點M滿足題設條件，不妨設M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），

則，，，

，，

所以，③

顯然動直線l的斜率存在且非零，設l：x＝ty－2，

聯立方程組，消去x得y2－8ty＋16＝0，

由Δ＞0得t＞1或t＜－1，

所以y1＋y2＝8t，y1y2＝16，且y1≠y2，

代入③式得，令（m為常數），

整理得，④

因為④式對任意t∈（－∞，－1）∪（1，＋∞）恒成立，

所以，

所以或，即M（2，4）或M（2，－4），

即存在曲線C上的點M（2，4）或M（2，－4）滿足題意．