Question

【題目】已知等差數列{an}滿足an+1＞an ， a1=1，且該數列的前三項分別加上1，1，3后順次成為等比數列{bn}的前三項．
（1）求數列{an}，{bn}的通項公式；
（2）令cn=anbn ， 求數列{cn}的前n項和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：設d、q分別為數列{an}、{bn}的公差與公比．

由題意知，a1=1，a2=1+d，a3=1+2d，分別加上1，1，3后

得2，2+d，4+2d是等比數列{bn}的前三項，

∴（2+d）2=2（4+2 d），解得：d=±2．

又∵an+1＞an，∴d＞0，∴d=2，

∴an=2n﹣1（n∈N*），

由此可得b1=2，b2=4，q=2，

∴bn=2n（n∈N*）

（2）解：由（1）可得cn=anbn=（2n﹣1）2n，

∴前n項和Sn=12+322+523+…+（2n﹣1）2n，

∴2Sn=122+323+524+…+（2n﹣1）2n+1，

相減得﹣Sn=2+2（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）2n+1，

=2+2 ﹣（2n﹣1）2n+1，

化簡可得Sn=（2n﹣3）2n+1+6

【解析】（1）設d、q分別為數列{an}、{bn}的公差與公比．由a1=1，a2=1+d，a3=1+2d，分別加上1，1，3后得2，2+d，4+2d是等比數列{bn}的前三項，可得關于d的方程，解出d，可得an ， 進而可得b1 ， b2 ， 公比q，故可得bn；（2）由（1）表示出cn ， 利用錯位相減法，結合等比數列的求和公式，可求得Sn ．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．