Question

【題目】已知函數是二次函數，不等式的解集為，且在區間上的最小值是4.

（1）求的解析式；

（2）求在上的最大值、最小值的解析式；

（3）設，若對任意均成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；

（2），；

（3）或.

【解析】

(1)根據題意設，再根據在區間上的最小值是4，可以得出的解析式；

(2)對稱軸是否在區間內，進行討論可得最大值，在討論和誰離對稱軸遠討論可得最小值；

(3) ，恒成立，等價與對恒成立，求出右邊的最小值，可得關于的不等式，即可求得結論.

(1)解集為，

設，且，

對稱軸，開口向下，

，解得，

所以；

(2)由(1)知，

當時，在上單調遞增，則，

當時，在上單調遞增，在上單調遞減，則，

，

又當且 即時，，

當且，即時，，

（3），

恒成立，

即對恒成立，化簡，即對

恒成立，

令，記，

則，

二次函數開口向下，對稱軸為，

當時，故，

即，

解得或 .