Question

（2012•鷹潭一模）在邊長為a的正方形ABCD中，E，F分別為BC，CD的中點，現沿AE、AF、EF折疊，使B、C、D三點重合，構成一個三棱錐B-AEF，如圖所示．
（Ⅰ）在三棱錐B-AEF中，求證：AB⊥EF；
（Ⅱ）求四棱錐E-AMNF的體積．

Answer 1

分析：（I）在三棱錐B-AEF中，因為AB⊥BE，AB⊥BF，BE∩BF=B，所以AB⊥平面BEF．由此能夠證明AB⊥EF．
（II）因為在△ABF中，M、N分別為AB、BF的中點，所以四邊形AMNF的面積是△ABF面積的

3

4

．因為三棱錐E-ABF與四棱錐E-AMNF的高相等，所以，四棱錐E-AMNF的體積是三棱錐E-ABF的體積的

3

4

，因為V_E-ABF=V_A-BEF，所以VE-AMNF=

3

4

VA-BEF．由此能夠求出四棱錐E-AMNF的體積．

解答：（I）證明：在三棱錐B-AEF中，
因為AB⊥BE，AB⊥BF，BE∩BF=B，
所以AB⊥平面BEF．…..（3分）
又EF?平面BEF，
所以AB⊥EF．…..（6分）
（II）解：因為在△ABF中，M、N分別為AB、BF的中點，
所以四邊形AMNF的面積是△ABF面積的

3

4

．…..（8分）
又三棱錐E-ABF與四棱錐E-AMNF的高相等，
所以，四棱錐E-AMNF的體積是三棱錐E-ABF的體積的

3

4

，
因為V_E-ABF=V_A-BEF，
所以VE-AMNF=

3

4

VA-BEF．…..（10分）
因為VA-BEF=

1

3

S△BEF•AB=

1

3

×

1

2

BE•BF•AB=

1

24

a3，
所以VE-AMNF=

3

4

×

1

24

a3=

1

32

a3，
故四棱錐E-AMNF的體積為

1

32

a3．…..（13分）

點評：本題考查在三棱錐B-AEF中，求證AB⊥EF，求四棱錐E-AMNF的體積．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地化空間問題為平面問題．