Question

（2012•鷹潭一模）設D為△ABC的邊AB上一點，P為△ABC內一點，且滿足

AD

=

λ+1

λ2+ 2 λ+1

AB

，

AP

=

AD

+

λ

λ+1

BC

，λ＞0，則

S△APD

S△ABC

有（　　）

• A．最小值為1+

  2

  2

• B．最大值為1+

  2

  2

• C．最小值為1-

  2

  2

• D．最大值為1-

  2

  2

Answer 1

分析：根據向量關系，確定DP：BC=

λ

λ+1

，△ADP的高：△ABC的高=AD：AB=

λ+1

λ2+ 2 λ+1

，從而可求面積之比，再利用基本不等式，即可得到結論．

解答：解：∵

AP

=

AD

+

λ

λ+1

BC

=

AD

+

DP

∴

DP

=

λ

λ+1

BC

∴DP：BC=

λ

λ+1

∵

AD

=

λ+1

λ2+ 2 λ+1

AB

∴△ADP的高：△ABC的高=AD：AB=

λ+1

λ2+ 2 λ+1

∴

S△APD

S△ABC

=

λ

λ+1

×

λ+1

λ2+ 2 λ+1

=

λ

λ2+ 2 λ+1

=

1

λ+ 1 λ + 2

∵λ＞0，∴λ+

1

λ

≥2，當且僅當λ=1時，取等號
∴當λ=1時，

S△APD

S△ABC

取得最大值

1

2+ 2

= 

2- 2

2

=1-

2

2

故選D．

點評：本題考查向量知識的運用，考查三角形的面積，考查基本不等式的運用，解題的關鍵是確定面積之比．