Question

【題目】設n是正整數，r為正有理數．
（1）求函數f（x）=（1+x）r+1﹣（r+1）x﹣1（x＞﹣1）的最小值；
（參考數據： ．
（2）證明： ；
（3）設x∈R，記[x]為不小于x的最小整數，例如 ．令 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意得f'（x）=（r+1）（1+x）r﹣（r+1）=（r+1）[（1+x）r﹣1]，

令f'（x）=0，解得x=0．

當﹣1＜x＜0時，f'（x）＜0，∴f（x）在（﹣1，0）內是減函數；

當x＞0時，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）內是增函數．

故函數f（x）在x=0處，取得最小值為f（0）=0．

（2）

證明：由（1），當x∈（﹣1，+∞）時，有f（x）≥f（0）=0，

即（1+x）r+1≥1+（r+1）x，且等號當且僅當x=0時成立，

故當x＞﹣1且x≠0，有（1+x）r+1＞1+（r+1）x，①

在①中，令 （這時x＞﹣1且x≠0），得 ．

上式兩邊同乘nr+1，得（n+1）r+1＞nr+1+nr（r+1），

即 ，②

當n＞1時，在①中令 （這時x＞﹣1且x≠0），

類似可得 ，③

且當n=1時，③也成立．

綜合②，③得 ，④

（3）

解：在④中，令 ，n分別取值81，82，83，…，125，

得 ， ， ，… ，

將以上各式相加，并整理得 ．

代入數據計算，可得

由[S]的定義，得[S]=211．

【解析】（1）先求出函數f（x）的導函數f′（x），令f'（x）=0，解得x=0，再求出函數的單調區間，進而求出最小值為f（0）=0；（2）根據（1）知，即（1+x）r+1≥1+（r+1）x，令 代入并化簡得 ，再令 得， ，即結論得到證明；（3）根據（Ⅱ）的結論，令 ，n分別取值81，82，83，…，125，分別列出不等式，再將各式相加得， ，再由參考數據和條件進行求解．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性和數列的前n項和的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．