Question

在平面直角坐標系xOy中，已知圓C₁：(x＋3)²＋(y－1)²＝4和圓C₂：(x－4)²＋(y－5)²＝4.

(1)若直線l過點A(4，0)，且被圓C₁截得的弦長為2，求直線l的方程；
(2)設P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l₁和l₂，它們分別與圓C₁和圓C₂相交，且直線l₁被圓C₁截得的弦長與直線l₂被圓C₂截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P的坐標．

Answer 1

（1）y＝0或7x＋24y－28＝0.（2）或

(1)設直線l的方程為y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0.由垂徑定理，得圓心C₁到直線l的距離d＝＝1，結合點到直線距離公式，得＝1，化簡得24k²＋7k＝0，解得k＝0或k＝－.
所求直線l的方程為y＝0或y＝－(x－4)，即y＝0或7x＋24y－28＝0.
(2)設點P坐標為(m，n)，直線l₁、l₂的方程分別為y－n＝k(x－m)，y－n＝－(x－m)，即kx－y＋n－km＝0，－x－y＋n＋m＝0.
因為直線l₁被圓C₁截得的弦長與直線l₂被圓C₂截得的弦長相等，兩圓半徑相等．由垂徑定理，得圓心C₁到直線l₁與圓心C₂到直線l₂的距離相等．故有，
化簡得(2－m－n)k＝m－n－3或(m－n＋8)k＝m＋n－5.
因為關于k的方程有無窮多解，所以有
解得點P坐標為或.