Question

已知橢圓C的左、右焦點坐標分別是(-,0),(,0),離心率是.直線y=t與橢圓C交于不同的兩點M,N,以線段MN為直徑作圓P,圓心為P.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若圓P與x軸相切,求圓心P的坐標;
(3)設Q(x,y)是圓P上的動點,當t變化時,求y的最大值.

Answer 1

（1）+y²=1  （2）（0,±）  （3）2

解:(1)因為=,且c=,
所以a=,b==1.
所以橢圓C的方程為+y²=1.
(2)由題意知P(0,t)(-1<t<1).
由
得x=±.
所以圓P的半徑為.
當圓P與x軸相切時,|t|=.
解得t=±.
所以圓心P的坐標是（0,±）.
(3)由(2)知,圓P的方程為x²+(y-t)²=3(1-t²).
因為點Q(x,y)在圓P上,
所以y=t±≤t+.
設t="cos" θ,θ∈(0,π),
則t+="cos" θ+sin θ=2sin（θ+）.
當θ=,即t=,且x=0時,y取最大值2.