Question

在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C₁:+=1(a>b>0)的左焦點為F₁(-1,0),且點P(0,1)在C₁上.
(1)求橢圓C₁的方程;
(2)設直線l同時與橢圓C₁和拋物線C₂:y²=4x相切,求直線l的方程.

Answer 1

（1）+y²=1  （2）y=x+或y=-x-

解:(1)因為橢圓C₁的左焦點為F₁(-1,0),
所以c=1.
將點P(0,1)代入橢圓方程+=1,
得=1,即b=1.
所以a²=b²+c²=2.
所以橢圓C₁的方程為+y²=1.
(2)由題意可知,直線l的斜率顯然存在且不等于0,
設直線l的方程為y=kx+m,
由
消去y并整理得(1+2k²)x²+4kmx+2m²-2=0.
因為直線l與橢圓C₁相切,
所以Δ₁=16k²m²-4(1+2k²)(2m²-2)=0.
整理得2k²-m²+1=0.①
由消去y并整理得k²x²+(2km-4)x+m²=0.
因為直線l與拋物線C₂相切,
所以Δ₂=(2km-4)²-4k²m²=0,
整理得km=1.②
綜合①②,解得或
所以直線l的方程為y=x+或y=-x-.