Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1 ， AC=BC=BB1 ， D為AB的中點，且CD⊥DA1 ．

（1）求證：BC1∥平面DCA1；
（2）求BC1與平面ABB1A1所成角的大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖一，連接AC1與A1C交于點K，連接DK．

在△ABC1中，D、K為中點，∴DK∥BC1

又DK平面DCA1，BC1平面DCA1，∴BC1∥平面DCA1、

（2）證明：（方法一）如圖二，∵AC=BC，D為AB的中點，∴CD⊥AB、

又CD⊥DA1，AB∩DA1=D，∴CD⊥平面ABB1A1、

取A1B1的中點E，又D為AB的中點，∴DE、BB1、CC1平行且相等，

∴DCC1E是平行四邊形，∴C1E、CD平行且相等．

又CD⊥平面ABB1A1，∴C1E⊥平面ABB1A1，∴∠EBC1即所求角、

由前面證明知CD⊥平面ABB1A1，∴CD⊥BB1，

又AB⊥BB1，AB∩CD=D，∴BB1⊥平面ABC，∴此三棱柱為直棱柱．

設AC=BC=BB1=2，∴ ， ，∠EBC1=30°、

（方法二）如圖三，∵AC=BC，D為AB的中點，∴CD⊥AB、

又CD⊥DA1，AB∩DA1=D，∴CD⊥平面ABB1A1、

取DA1的中點F，則KF∥CD，∴KF⊥平面ABB1A1．

∴∠KDF即BC1與平面ABB1A1所成的角．

由前面證明知CD⊥平面ABB1A1，∴CD⊥BB1，

又AB⊥BB1，AB∩CD=D，∴BB1⊥平面ABC，∴此三棱柱為直棱柱．

設AC=BC=BB1=2，∴ ， ，∴∠KDF=30°

【解析】（1）連接AC1與A1C交于點K，連接DK．根據三角形中位線定理，易得到DK∥BC1 ， 再由線面平行的判定定理得到BC1∥平面DCA1；（2）方法一：由AC=BC，D為AB的中點，取A1B1的中點E，又D為AB的中點，得到DCC1E是平行四邊形，則∠EBC1即為BC1與平面ABB1A1所成角的二面角，解三角形即可求出答案．方法二：由AC=BC，D為AB的中點，取DA1的中點F，則∠KDF即BC1與平面ABB1A1所成的角．解三角形即可求出答案．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．