Question

【題目】已知函數f（x）=x2+bx+c，其對稱軸為y軸（其中b，c為常數） （Ⅰ）求實數b的值；
（Ⅱ）記函數g（x）=f（x）﹣2，若函數g（x）有兩個不同的零點，求實數c的取值范圍；
（Ⅲ）求證：不等式f（c2+1）＞f（c）對任意c∈R成立．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵函數f（x）=x2+bx+c，其對稱軸為y軸， ∴ =0，
解得：b=0；
（Ⅱ）由（I）得：f（x）=x2+c，
則g（x）=f（x）﹣2=x2+c﹣2，
若函數g（x）有兩個不同的零點，
則△=﹣4（c﹣2）＞0，
解得：c＜2；
（Ⅲ）證明：函數f（x）=x2+c的開口朝上，
∵|c2+1|2﹣|c|2=c4+c2+1=（c2+ ）2+ ＞0恒成立，
故|c2+1|＞|c|，
故不等式f（c2+1）＞f（c）對任意c∈R成立
【解析】（Ⅰ）若函數f（x）=x2+bx+c，其對稱軸為y軸，則 =0，解得b值； （Ⅱ）由（I）得g（x）=f（x）﹣2=x2+c﹣2，若函數g（x）有兩個不同的零點，則△=﹣4（c﹣2）＞0，解得c的范圍； （Ⅲ）函數f（x）=x2+c的開口朝上，證得|c2+1|2﹣|c|2＞0恒成立，可得不等式f（c2+1）＞f（c）對任意c∈R成立．