Question

如圖所示，在直徑為BC的半圓中,A是弧BC上一點，正方形PQRS內接于△ABC，若BC=a,∠ABC=θ，設△ABC的面積為S_l，正方形PQRS的面積為S₂.

（1）用a，θ表示S₁和S₂；
（2)當a固定，θ變化時，求取得最小值時θ的值．

Answer 1

（1），；（2）.

解析試題分析：本題主要以圓為幾何背景考查三角函數的定義、三角函數的面積公式、函數的單調性及最值等數學知識，考查學生的分析問題的能力、轉化能力和計算能力.第一問，在中，求出，利用求的面積，在中求出，在中求出，而，求出x的值，再求正方形PQRS的面積；第二問，先將第一問的結論代入中化簡表達式，用換元法，簡化表達式，利用函數的單調性求的最小值.
試題解析：(1)因為AB＝acosθ，
∴，
設正方形邊長為x，，RC＝xtanθ，
則，解之得
所以（6分）
(2)當a固定，θ變化時，
設sin2θ＝t，則．
∵，∴0＜t≤1，，
易證f(t)在(0，1]上是減函數．
故當t＝1時，取最小值，此時（12分）
考點：1.三角函數的定義；2.三角形面積公式；3.函數的單調性.