Question

【題目】如圖所示的多面體中，四邊形為菱形，且，為的中點．

（1）求證：平面；

（2）若平面平面，求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）連結BD，交AC于M，連結FM，MG，證明即可解決問題。

（2）建立空間直角坐標系，求得平面的一個法向量及，利用空間向量夾角公式即可求得直線EC與平面ACF所成角的正弦值，問題得解

證明：（1）連結BD，交AC于M，連結FM，MG，

因為BC＝AD＝2EF，EF∥BC，BC∥AD，所以，

在△ACD中，M，G分別為AC，CD的中點，所以，

所以，所以四邊形EFMG是平行四邊形，

所以EG∥FM，

又因為FM平面ACF，EC平面ACF，所以EG∥平面ACF．

（2）取AB的中點O，連結FO，OC，

因為AF＝BF＝BC，∠ABC＝60°，四邊形ABCD為菱形，所以FO⊥AB，OC⊥AB，

因為平面ABF⊥平面ABCD，所以FO⊥平面ABCD，

故以O為原點，，，分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標系，設AF＝BF＝BC＝2EF＝2．

則A（－1，0，0），C（0，，0），F（0，0，），E（，，），＝（1，，0），

，，

設＝是平面ACF的一個法向量，

則，，

令y＝z＝1，則，故＝（，1，1），

設直線EC與平面ACF所成角為，

則，

所以直線EC與平面ACF所成角的正弦值為．