Question

【題目】某班級50名學生的考試分數x分布在區間[50，100）內，設分數x的分布頻率是f（x）且f（x）= ，考試成績采用“5分制”，規定：考試分數在[50，60）內的成績記為1分，考試分數在[60，70）內的成績記為2分，考試分數在[70，80）內的成績記為3分，考試分數在[80，90）內的成績記為4分，考試分數在[90，100）內的成績記為5分．用分層抽樣的方法，現在從成績在1分，2分及3分的人中用分層抽樣隨機抽出6人，再從這6人中抽出3人，記這3人的成績之和為ξ（將頻率視為概率）．
（1）求b的值，并估計班級的考試平均分數；
（2）求P（ξ=7）；
（3）求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意頻率分布表如下：

分數	[50，60）	[60.70）	[70.80）	[80，90）	[90，100）
成績	1	2	3	4	5
頻率	0.1	0.2	0.3	b﹣1.6	b﹣1.8

∵f（5）+f（6）+f（7）+f（8）+f（9）=1，∴b=1.9

班級的平均成績 =55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.3+95×0.1=76（分）

（2）解：從成績在1分，2分及3分的人中用分層抽樣隨機抽出6人，則成績為1分、2分、3分的分別為1人、2人、3人，

再從這6人中抽出3人，記這3人的成績之和為ξ，P（ξ=7）=

（3）解：ξ的可能取值為5，6，7，8，9

P（ξ=5）= ，P（ξ=6）= ，P（ξ=7）= ，P（ξ=8）= ，P（ξ=9）=

ξ的分布列如下：

ξ	5	6	7	8	9
P

∴E（ξ）=5× +（6+7+8）× +9× =7

【解析】（1）求出各個分數段的頻率，列出頻率分布表，根據頻率之和為1，求得b，再求平均值．（2）從成績在1分，2分及3分的人中用分層抽樣隨機抽出6人，則成績為1分、2分、3分的分別為1人、2人、3人，再從這6人中抽出3人，成績之和為7的情況有，1+3+3，2+2+3（3）ξ的可能取值為5，6，7，8，9，求出相應概率，再求解．
【考點精析】利用離散型隨機變量及其分布列對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．