Question

設不等式組

x＞0 y＞0 y≤-nx+3n

所表示的平面區域為D_n，記D_n內的格點（格點即橫坐標和縱坐標均為整數的點）個數為f（n），（n∈N^*）
（1）求f（1），f（2）的值及f（n）的表達式；
（2）記Tn=

f(n)•f(n+1)

2n

，試比較T_n與T_n+1的大小；若對于一切的正整數n，總有T_n≤m成立，求實數m的取值范圍；
（3）設S_n為數列b_n的前n項的和，其中b_n=2^f（n），問是否存在正整數n，t，使

Sn+tbn

Sn+1-tbn+1

＜

1

16

成立？若存在，求出正整數n，t；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）直接把n=1，2代入即可求出f（1），f（2）的值；再把x=1，x=2代入綜合求出f（n）的表達式；
（2）先利用上面的結論求出T_n的表達式，再對T_n與T_n+1的作商比較，從而求出T_n中的最大值，即可找到滿足T_n≤m時對應的實數m的取值范圍；
（3）先利用b_n=2^f（n）求出數列{b_n}的通項公式，進而求出S_n；把S_n代入

Sn+tbn

Sn+1-tbn+1

＜

1

16

，化簡得

( 8 7 -t)8n- 8 7

( 8 7 -t)8n- 1 7

＜

1

2

，再分t=1以及t＞1求出其對應的n即可說明結論．

解答：解：（1）f（1）=3，f（2）=6（2分）
當x=1時，y取值為1，2，3，…，2n共有2n個格點
當x=2時，y取值為1，2，3，…，n共有n個格點
∴f（n）=n+2n=3n（4分）
（2）由Tn=

f(n)f(n+1)

2n

=

9n(n+1)

2n

則Tn+1=

f(n+1)f(n+2)

2n+1

=

9(n+1)(n+2)

2n+1

?

Tn+1

Tn

=

9(n+1)(n+2) 2n+1

9n(n+1) 2n

=

n+2

2n

（5分）
當n=1，2時，T_n+1≥T_n
當n≥3時，n+2＜2n?T_n+1＜T_n（6分）
∴n=1時，T₁=9n=2，3時，T2=T3=

27

2

n≥4時，T_n＜T₃
∴T_n中的最大值為T2=T3=

27

2

（8分）
要使T_n≤m對于一切的正整數n恒成立，
只需

27

2

≤m
∴m≥

27

2

（9分）
（3）bn=2f(n)=23n=8 n?Sn=

8(1-8n)

1-8

=

8

7

(8 n-1)（10分）
將S_n代入

Sn+tbn

Sn+1-tbn+1

＜

1

16

，化簡得，

( 8 7 +t)8n- 8 7

( 8 7 -t)8n+1- 8 7

＜

1

16

（﹡）（11分）
若t=1時，

15 7 ×8n- 8 7

8n+1 7 - 8 7

＜

1

16

?8ⁿ＜

15

29

，顯然不成立，
若t＞1時，（﹡）式化簡為(

8

7

-t)8n＞

15

7

不可能成立，
綜上，不存在正整數n，t使

Sn+tbn

Sn+1-tbn+1

＜

1

16

成立．

點評：本題綜合考查了數列，函數以及不等式，是對知識點的綜合考查．解決本題的關鍵點在于求出f（n）的表達式．