Question

在平面直角坐標系上，設不等式組

x＞0 y＞0 y≤-m(x-3)

（n∈N^*）
所表示的平面區域為D_n，記D_n內的整點（即橫坐標和縱坐標均
為整數的點）的個數為a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃并猜想a_n的表達式再用數學歸納法加以證明；
（Ⅱ）設數列{a_n}的前項和為S_n，數列{

1

Sn

}的前項和T_n，
是否存在自然數m？使得對一切n∈N^*，T_n＞m恒成立．若存在，
求出m的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設知D_n內的整點在直線x=1和x=2上．記直線y=-mx+3m為l，l與直線x=1和x=2的交點的縱坐標分別為y₁、y₂，由y₁=2n，y₂=n，知a_n=3n（n∈N*），再用數學歸納法證明．
（Ⅱ）先求得Sn=

3n(n+1)

2

，所以Tn=

2n

3(n+1)

．因為對一切n∈N^*，T_n＞m恒成立，所以m＜T_n的最小值，從而可求．

解答：解：（Ⅰ）當n=1時，D₁為Rt△OAB₁的內部包括斜邊，這時a₁=3，
當n=2時，D₂為Rt△OAB₂的內部包括斜邊，這時a₂=3，
當n=3時，D₃為Rt△OAB₃的內部包括斜邊，這時a₃=9
由此可猜想a_n=3n
下面用數學歸納法證明：
（1）當n=1時，猜想顯然成立．
（2）假設當n=k時，猜想成立，即a_k=3k
如圖，平面區域D_k為Rt△OAB_k內部包括斜邊、平面區域D_k+1為Rt△△OAB_k+1內部包括斜邊，∵平面區域D_k+1比平面區域D_k多3個整點，（7分）
即當n=k+1時，a_k+1=3k+3=3（k+1），這就是說當n=k+1時，猜想也成立，
由（1）、（2）知a_n=3n對一切n∈N^*都成立．（8分）
（Ⅱ）∵a_n=3n，∴數列{a_n}是首項為3，公差為3的等差數列，
∴Sn=

3n(n+1)

2

．∴

1

Sn

=

2

3

(

1

n

-

1

n+1

)，∴Tn=

2n

3(n+1)

∵對一切n∈N^*，T_n＞m恒成立，∴m＜T_n的最小值．
∵Tn=

2n

3(n+1)

在[1，+∞）上為增函數∴T_n的最小值為

1

3

，∴m＜

1

3

，滿足m＜

1

3

的自然數為0，
∴滿足題設的自然數m存在，其值為0．（14分）

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要注意公式的合理運用和不等式的應用．