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設不等式組

x＞0

y＞0

y≤-nx+4n

(n∈N*)所表示的平面區域D_n的整點（即橫坐標和縱坐標均為整數的點）個數為a_n，則

2010

(a2+a4+…+a2010)=

．

分析：利用不等式對應的圖形為三角形，求出所有的整數點個數，判斷出a_n為等差數列，利用等差數列的前n項和公式求出前n項和．

解答：解：

x＞0

y＞0

y≤-nx+4n

(n∈N*)所表示的平面區域D_n的整點個數
a_n=3n+2n+n=6n
∴{a_n}為等差數列
∴a₂，a₄，…a₂₀₁₀也為等差數列
∴

2010

(a2+a4+…+a2010)
=

2010

(a2+a2010)×1005

═

2010

(12 +2010×6 )×1005

=3018
故答案為3018．

點評：求數列的前n項和，首先要求出數列的通項，利用通項的特點選擇合適的求和方法．

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設不等式組

|x|-2≤0

y-3≤0

x-2y≤2

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．

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x＞0

y＞0

y≤-m(x-3)

（n∈N^*）
所表示的平面區域為D_n，記D_n內的整點（即橫坐標和縱坐標均
為整數的點）的個數為a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃并猜想a_n的表達式再用數學歸納法加以證明；
（Ⅱ）設數列{a_n}的前項和為S_n，數列{

}的前項和T_n，
是否存在自然數m？使得對一切n∈N^*，T_n＞m恒成立．若存在，
求出m的值，若不存在，請說明理由．

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x＞0

y≥0

y≤-2n(x-3)

（n∈N^*）表示的平面區域為D_n，記D_n內的整點（橫坐標和縱坐標均為整數的點）的個數為a_n．
（1）求出a₁，a₂，a₃的值（不要求寫過程）；
（2）證明數列{a_n}為等差數列；
（3）令b_n=

anan+1

（n∈N^*），求b₁+b₂+…+b_n．

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（2006•宣武區一模）設不等式組

x＞0

y＞0

y≤-nx+3n

所表示的平面區域為D_n，記D_n內的整點個數為a_n（n∈N^*）．（整點即橫坐標和縱坐標均為整數的點）
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）記數列{a_n}的前n項和為S_n，且Tn=

3•2n-1

，若對于一切的正整數n，總有T_n≤m，求實數m的取值范圍．

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