Question

【題目】已知函數.

（1）若函數在上單調遞減，求的取值范圍；

（2）若過點可作曲線的三條切線，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）對函數h(x)求導，由函數h(x)在區間上單調遞減可得恒成立，列不等式組解出即可得到答案；（2）設切點坐標，寫過點（a,b）的切線方程，過點可作三條切線轉為方程有三個不等實根，構造函數判單調性根據函數的單調性和極值即可得到答案.

（1）解：，

依題可得：，即對恒成立.

設，則，解得，所以.

（2）證明：設過點與曲線相切的直線與曲線的切點為，

因為，

所以切線方程為，

代入點，得，整理得：，

因為過點可作曲線的三條切線，

所以方程有三個不同根.

令，

則在，上單調遞增，在上單調遞減.

因為方程有三個不同根，

所以的圖像與軸有三個交點，則

故.