Question

已知四棱錐的底面是等腰梯形，且分別是的中點.

（1）求證：；
（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）

試題分析：（1）可證面得，因為分別是的中點即可證。（2）以所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，先求各點的坐標然后求向量的坐標，再求面的一個法向量。由已知可知為面的一個法向量，用向量的數量積公式求兩法向量所成角的余弦值。兩法向量所成的角與所求二面角的平面角相等或互補。
試題解析：（1）分別是的中點.
           2分
由已知可知         3分

          4分
又
            5分
                  6分
（2）以所在直線為x軸，y軸，z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系.         7分

由題設，， 得

           8分
設平面的法向量為
     可取，                          10分
平面的法向量為                                  11分
                            13分
由圖形可知，二面角的余弦值為                 14分