Question

如圖所示，在直三棱柱A₁B₁C₁－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A₁A＝4，點D是BC的中點．

(1)求異面直線A₁B與C₁D所成角的余弦值；
(2)求平面ADC₁與平面ABA₁所成二面角的正弦值．

Answer 1

（1）（2）

(1)以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系A－xyz，

則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A₁(0，0，4)，C₁(0，2，4)，所以＝(2，0，－4)，＝(1，－1，－4)．
因為cos〈，〉＝＝，所以異面直線A₁B與C₁D所成角的余弦值為.
(2)設平面ADC₁的法向量為n₁＝(x，y，z)，
因為＝(1，1，0)，＝(0，2，4)，所以n₁·＝0，n₁·＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，
取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以，n₁＝(2，－2，1)是平面ADC₁的一個法向量．
取平面AA₁B的一個法向量為n₂＝(0，1，0)，
設平面ADC₁與平面ABA₁所成二面角的大小為θ.
由|cosθ|＝＝，得sinθ＝.
因此，平面ADC₁與平面ABA₁所成二面角的正弦值為.