Question

如圖1，在△ABC中，BC=3，AC=6，∠C=90°，且DE∥BC，將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁D⊥CD，如圖2。

（1）求證：BC⊥平面A₁DC；
（2）若CD=2，求BE與平面A₁BC所成角的正弦值。

Answer 1

（1）詳見解析；（2）

試題分析：（1）可以利用線線BC，垂直，來證明線面BC⊥平面A1DC垂直；
（2）可以以D為原點，分別以為x,y,z軸的正方向，建立空間直角坐標系，然后利用空間向量的線面角公式即可.
試題解析：（Ⅰ）DE，DE//BC，BC        2分
又，AD         4分
（2）以D為原點，分別以為x,y,z軸的正方向，
建立空間直角坐標系D-xyz                  5分
說明：建系方法不唯一 ，不管左手系、右手系只要合理即可
在直角梯形CDEB中，過E作EFBC，EF=2，BF=1，BC=3    6分
B（3，0，-2）E（2，0，0）C（0，0，-2）A1（0，4，0）     8分
                 9分
設平面A1BC的法向量為
     令y=1, 10分
設BE與平面A1BC所成角為，     12分