Question

【題目】已知A，B是拋物線x2=2py（p＞0）上的兩個動點，O為坐標原點，非零向量滿足．

（1）求證：直線AB經過一定點；

（2）當AB的中點到直線y-2x=0的距離的最小值為時，求p的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）2

【解析】試題分析：（1）欲證直線經過定點，只需找到直線方程，在驗證不管參數為何值都過某一定點即可，可根據判斷直線OA，OB垂直，設AB方程，根據OA，OB垂直消去一些參數，再進行判斷．（2）設AB中點的坐標根據OA，OB垂直，可得AB中點坐標滿足的關系式，再用點到直線的距離公式求AB的中點到直線y-2x=0的距離的，求出最小值，讓其等于解參數p即可．

試題解析：

（1）∵，∴OA⊥OB．設A，B兩點的坐標為（x1，y1），（x2，y2）則x12=2py1，x22=2py2，經過A，B兩點的直線方程為（x2-x1）（y-y1）=（y2-y1）（x-x1），由，得，∵．令x=0，得，∴（*）

∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，從而．

∵x1x2≠0（否則，有一個為零向量），∴x1x2=-4p2．代入（*），得y=2p，

∴AB始終經過定點（0，2p）．

（2）設AB中點的坐標為（x，y），則x1+x2=2x，y1+y2=2y，∴x12+x22=2py1+2py2=2p（y1+y2）．

又∵x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（x1+x2）2+8p2，∴4x2+8p2=4py，

即．…①，AB的中點到直線y-2x=0的距離．

將①代入，得．

因為d的最小值為，∴，∴p=2．