Question

【題目】已知函數(shù)，f(x)=-mx2-m+ln(1-m)，(m<1)．

（Ⅰ）當(dāng)m=時(shí)，求f(x)的極值；

（Ⅱ）證明：函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數(shù)極大值為，極小值為 ；（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)，通過的符號(hào)，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，找到極值點(diǎn)，可得結(jié)果.

（Ⅱ）計(jì)算，采用分類討論的方法，，以及，判斷函數(shù)的單調(diào)性，可得結(jié)果.

（Ⅰ）

，則在遞增，

在遞減，在上遞增，

所以函數(shù)極大值為，

極小值為．

（Ⅱ）

①當(dāng)時(shí)，，

只有一個(gè)零點(diǎn)0，符合題意；

②當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，

在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

，

令，，

顯然單調(diào)遞減，有，即，

則只有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意；

③當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，

在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

，，由②構(gòu)造的函數(shù)知，

，

則只有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意．

綜上所述，時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．