Question

【題目】已知函數，其中，為參數，且.

（Ⅰ）當時，判斷函數是否有極值.

（Ⅱ）要使函數的極小值大于零，求參數的取值范圍.

（Ⅲ）若對（Ⅱ）中所求的取值范圍內的任意參數，函數在區間內都是增函數，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）無極值.

（Ⅱ）.

（Ⅲ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）當時，，得到，所以無極值.

（Ⅱ）由，得，，由（Ⅰ），只需分當和兩情況討論，即可得到使函數在內的極小值大于零，參數的取值范圍.

（Ⅲ）由題設，函數在內是增函數，且由（Ⅱ）參數時要使恒成立，列出不等式，即可求解實數的取值范圍.

試題解析：

（Ⅰ）當時，，，所以，所以無極值.

（Ⅱ）因為，

設，得，

由（Ⅰ），只需分下面兩情況討論：

①當時

當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增.

所以當時，取得極小值，

極小值，

要使則有，

所以，

因為，故或；

②當時，

當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增；

所以當時，取得極小值.

極小值

若，則，矛盾.

所以當時，的極小值不會大于零.

綜上所述，要使函數在內的極小值大于零，參數的取值范圍是：

.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，函數在區間與內都是增函數，由題設，函數在內是增函數，則或

由（Ⅱ）參數時要使恒成立，必有

即且

綜上：或.

所以的取值范圍是.