Question

【題目】如圖所示，三棱錐中，平面平面，是邊長為4,的正三角形，是頂角 的等腰三角形，點為上的一動點．

（1）當時，求證：；

（2）當直線與平面所成角為時，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）證明；取中點為，連接，，由為正三角形知，由余弦定理可證，即平面，即可證明 ；

（2）以點為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，利用空間向量求二面角的余弦值.

（1）證明；取中點為，連接，，

由為正三角形知，

在中，可得，

中，由余弦定理可得，

從而，即，

所以平面，

于是 ，即 ；

（2）由（1）知平面，則與平面的夾角為，

在直角中，可得，則點為線段的中點，

以點為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系（由（1）知點為靠近的三等分點）,

則點，

從而，，，

于是，

設平面的一個法向量為，

則，即，不妨取，得，

又平面的一個法向量為，

從而，

故二面角的余弦值為.