Question

【題目】對于定義在區間上的兩個函數和，如果對任意的，均有不等式成立，則稱函數與在上是“友好”的，否則稱為“不友好”的．

（1）若，，則與在區間上是否“友好”；

（2）現在有兩個函數與，給定區間．

①若與在區間上都有意義，求的取值范圍；

②討論函數與與在區間上是否“友好”．

Answer 1

【答案】（1）是；（2）①；②見解析

【解析】

（1）按照定義，只需判斷在區間上是否恒成立；

（2）①由題意解不等式組即可；②假設存在實數，使得與與在區間上是“友好”的，即，即，只需求出函數在區間上的最值，解不等式組即可.

（1）由已知，，因為時，

，所以恒成立，故

與在區間上是“友好”的.

（2）①與在區間上都有意義，

則必須滿足，解得，又且，

所以的取值范圍為.

②假設存在實數，使得與與在區間上是“友好”的，

則，即，

因為，則，，所以在的右側，

又復合函數的單調性可得在區間上為減函數，

從而，，

所以，解得，

所以當時，與與在區間上是“友好”的；

當時，與與在區間上是“不友好”的.