Question

【題目】設函數f（x）＝|x﹣a|+|x|（a＞0）．

（1）若不等式f（x）﹣| x|≥4x的解集為{x|x≤1}，求實數a的值；

（2）證明：f（x）．

Answer 1

【答案】（1）a＝5；（2）見解析

【解析】

（1）由題意可得|x﹣a|≥4x，分類討論去掉絕對值，分別求得x的范圍即可求出a的值．（2）由條件利用絕對值三角不等式，基本不等式證得f（x）≥2．．

（1）由f（x）﹣|x|≥4x，可得|x﹣a|≥4x，（a＞0），

當x≥a時，x﹣a≥4x，解得x，

這與x≥a＞0矛盾，故不成立，

當x＜a時，a﹣x≥4x，解得x，

又不等式的解集是{x|x≤1}，故1，解得a＝5．

（2）證明：f（x）＝|x﹣a|+|x| |x﹣a﹣（x）|＝|a|，∵a＞0，

∴| a|＝a22，當且僅當a時取等號，

故f（x）．