【題目】如圖，四棱錐
中，底面
為菱形，
，
，點
為
的中點.
（1）證明：
；
（2）若點
為線段
的中點，平面
平面，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
.
【解析】分析：（1）由正三角形的性質可得
，由等腰三角形的性質可得
，由線面垂直的判定定理可得
平面
，從而可得結論；（2）由（1）知
，結合面面垂直的性質可得，
平面
，以
為坐標原點，分別以
，
，
所在直線為
，
，
軸，建立空間直角坐標系，求出平面
的一個法向量取平面的一個法向量
，利用空間向量夾角余弦公式可得結果.
詳解：（1）連接
，
因為
，
，所以
為正三角形，又點為
的中點，所以.
又因為
，為的中點，所以.
又
，所以平面，又
平面，所以
.
（2）由（1）知.又平面
平面，交線為，所以平面，
以為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則
，
，
，
，
，
，
設平面的一個法向量為
，
可得
得
，
由（1）知平面，則取平面的一個法向量，
，故二面角
的余弦值為.
華東師大版一課一練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】從集合
的所有非空子集中，等可能地取出
個．
（1）若
，求所取子集的元素既有奇數又有偶數的概率；
（2）若
，記所取子集的元素個數之差為
，求的分布列及數學期望
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
在區間
上的最大值為2.
(1)求函數
的解析式，并求它的對稱中心的坐標；
(2)先將函數保持橫坐標不變，縱坐標變為原來的
（
）倍，再將圖象向左平移
（
）個單位，得到的函數
為偶函數．若對任意的
，總存在
，使得
成立，求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知直線l的方程為
x﹣3y+3＝0．
（Ⅰ）若直線l1與l在y軸上的截距相等，且l1的傾斜角是l的傾斜角的兩倍，求直線l1的一般式方程；
（Ⅱ）若直線l2過點（，2），且l2與l垂直求直線l2的斜截式方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設拋物線
的焦點為
，過點作垂直于
軸的直線與拋物線交于
，
兩點，且以線段
為直徑的圓過點
.
(1)求拋物線
的方程；
(2)若直線
與拋物線交于
，
兩點，點
為曲線
:
上的動點，求
面積的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在國慶
周年慶典活動中，東城區教育系統近
名師生參與了國慶中心區合唱、
方陣群眾游行、聯歡晚會及
萬只氣球保障等多項重點任務．設
是參與國慶中心區合唱的學校
，
是參與27方陣群眾游行的學校，
是參與國慶聯歡晚會的學校．請用上述集合之間的運算來表示：①既參與國慶中心區合唱又參與27方陣群眾游行的學校的集合為_____；②至少參與國慶中心區合唱與國慶聯歡晚會中一項的學校的集合為_____．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】定義在D上的函數f（x）如果滿足：對任意x∈D，存在常數M≥0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數，其中M稱為函數f（x）的一個上界．已知函數
，
．
（1）求函數f（x）在區間
上的所有上界構成的集合；
（2）若函數g（x）在[0，+∞）上是以7為上界的有界函數，求實數a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】交通指數是交通擁堵指數的簡稱，是綜合反映道路網暢通或擁堵的概念，記交通指數為
，其范圍為
，分為五個級別， 
暢通； 
基本暢通； 
輕度擁堵； 
中度擁堵； 
嚴重擁堵.早高峰時段（
），從某市交通指揮中心隨機選取了三環以內的50個交通路段，依據其交通指數數據繪制的頻率分布直方圖如圖.
（1）這50個路段為中度擁堵的有多少個？
（2）據此估計，早高峰三環以內的三個路段至少有一個是嚴重擁堵的概率是多少？
（3）某人上班路上所用時間若暢通時為20分鐘，基本暢通為30分鐘，輕度擁堵為36分鐘，中度擁堵為42分鐘，嚴重擁堵為60分鐘，求此人所用時間的數學期望.
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