Question

【題目】設拋物線的焦點為，過點作垂直于軸的直線與拋物線交于，兩點，且以線段為直徑的圓過點.

(1)求拋物線的方程；

(2)若直線與拋物線交于，兩點，點為曲線:上的動點，求面積的最小值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】

（1）由于與軸垂直，因此就是圓心，的長是拋物線的通徑長，從而易求得；

（2）點，，把直線方程與拋物線方程聯立，消去得的一元二次方程，由韋達定理得，從而可得，設動點，求出到直線的距離，利用基本不等式可求得它的最小值，從而得三角形面積的最小值．

(1)由題意得，圓的半徑，解得：

故拋物線的方程為.

(2)設點，，由直線過拋物線的焦點，

聯立得，

故，所以

由點為曲線上的動點，設點，點到直線的距離

，

由，故

當且僅當，即時，取等號，所以，

∴，

故面積的最小值為.