Question

2012年第三季度，國家電網決定對城鎮居民民用電計費標準做出調整，并根據用電情況將居民分為三類：第一類的用電區間在（0，170]，第二類在（170，260]，第三類在（260，+∞）（單位：千瓦時．某小區共有1000戶居民，現對他們的用電情況進行調查，得到頻率分布直方圖如圖所示．
（1）求該小區居民用電量的中位數與平均數；
（2）利用分層抽樣的方法從該小區內選出10位居民代表，若從該10戶居民代表中任選兩戶居民，求這兩戶居民用電資費屬于不同類型的概率；
（3）若該小區長期保持著這一用電消耗水平，電力部門為鼓勵其節約用電，連續10個月，每個月從該小區居民中隨機抽取1戶，若取到的是第一類居民，則發放禮品一份，設X為獲獎戶數，求X的數學期望E（X）與方差D（X）．

Answer 1

（1）∵從左邊開始，前兩個小矩形的面積之和為0.005×20+0.015×20=0.1+0.3=0.4＜0.5，
設中位數為150+x，則0.02×x+0.4=0.5，解得x=5，∴中位數為155．
平均數為120×0.1+140×0.3+160×0.4+180×0.1+200×0.06+220×0.04=156.8；
（2）利用分層抽樣的方法從該小區內選出10位居民代表，
得一類居民8戶，二類居民2戶，從中任取2戶，共有

C

210

=45種；
兩戶來自不同類型的有

C

18

C

12

=16種，
∴兩戶居民用電資費屬于不同類型的概率為

16

45

；
（3）由題意知，該小區的第一類居民占80%，
則每個月從該小區居民中隨機抽取1戶，取到的是第一類居民的概率為0.8，
連續10個月抽取，設X為獲獎戶數，則X服從二項分布，
故X的數學期望E（X）=nP=10×0.8=8，
方差D（X）=nP（1-P）=10×0.8×0.2=1.6．