Question

醫生的專業能力參數K可有效衡量醫生的綜合能力，K越大，綜合能力越強，并規定：能力參數K不少于30稱為合格，不少于50稱為優秀．某市衛生管理部門隨機抽取300名醫生進行專業能力參數考核，得到如圖所示的能力K的頻率分布直方圖：

（1）求出這個樣本的合格率、優秀率；
（2）現用分層抽樣的方法從中抽出一個樣本容量為20的樣本，再從這20名醫生中隨機選出2名．
①求這2名醫生的能力參數K為同一組的概率；
②設這2名醫生中能力參數K為優秀的人數為X，求隨機變量X的分布列和期望．

Answer 1

（1）各組的頻率依次為0.2，0.3，0.2，0.15，0.1，0.05，
∴這個樣本的合格率為1-0.2=0.8，
優秀率為0.15+0.1+0.05=0.3．
（2）①用分層抽樣抽出的樣本容量為20的樣本中，各組人數依次為4，6，4，3，2，1．
從20名醫生中隨機選出2名的方法數為

C

220

=190，
選出的2名醫生的能力參數K為同一組的方法數為

C

24

+

C

26

+

C

24

+

C

23

+

C

22

=31．
故這2名醫生的能力參數K為同一組的概率P=

31

190

．
②20名醫生中能力參數K為優秀的有6人，不是優秀的有14人．
依題意，X的所有可能取值為0，1，2，則P(X=0)=

C 214

C 220

=

91

190

，P(X=1)=

C 114 C 16

C 220

=

42

95

，P(X=2)=

C 26

C 220

=

3

38

．
∴X的分布列為

X	0	1	2
P	91 190	42 95	3 38

∴X的期望值EX=0×

91

190

+1×

42

95

+2×

3

38

=

3

5

．