Question

【題目】已知函數f（x）=|x2﹣1|+x2+kx，且定義域為（0，2）．
（1）求關于x的方程f（x）=kx+3在（0，2）上的解；
（2）若關于x的方程f（x）=0在（0，2）上有兩個的解x1 ， x2 ， 求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=kx+3，∴|x2﹣1|+x2+kx=kx+3，即|x2﹣1|+x2=3．

若0＜x≤1，則|x2﹣1|+x2=1﹣x2+x2=1，此時方程無解．

若1＜x＜2，則|x2﹣1|+x2=2x2﹣1，原方程等價于：x2=2，此時該方程的解為x= ．

綜上可知：方程f（x）=kx+3在（0，2）上的解為x=

（2）解：當0＜x≤1時，f（x）=0kx=﹣1，①，當1＜x＜2時，f（x）=02x2+kx﹣1=0，②

若k=0則①無解，②的解為 ，故k=0不合題意．

若k≠0，則①的解為 ．

∵方程②的判別式△=k2+8＞0，∴方程②有兩個不相等的根，不妨設為x1，x2，

則 ，∴x1＜0＜x2．

（i）若 ，即k≤﹣1，則1＜x2＜2，

設g（x）=2x2+kx﹣1，則 ，即

解得 ，又k≤﹣1，故 ．

（ii） 若 時，即﹣1＜k＜0或k＞0時，方程②在（1，2）須有兩個不同解，與x1＜0＜x2矛盾，不合題意．

綜上所述，

【解析】（1）對x的范圍進行討論去絕對值符號，再解方程；（2）對x的范圍進行討論去絕對值符號，得出兩個方程，對兩個方程的根的個數進行討論，利用二次函數的性質得出不等式解出k的范圍．