Question

已知圓C： 直線
（1）證明：不論取何實數，直線與圓C恒相交；
（2）求直線被圓C所截得的弦長的最小值及此時直線的方程.

Answer 1

（1）見解析；（2）最短弦為4；直線方程為

試題分析：（1）只須確定直線上一定點在圓內，則過圓內一點的直線恒與圓相交；（2）由弦心距、半弦、半徑構成的直角三角形可過A作AC的垂線，此時的直線與圓C相交于B、D兩點，根據圓的幾何性質可得，線段BD為直線被圓所截得最短弦，從而求出最短弦和對應的直線.
試題解析：（1）證明：直線可化為：，由此知道直線必經過直線與的交點，解得：，則兩直線的交點為A（3，1），而此點在圓的內部，故不論為任何實數，直線與圓C恒相交。
（2）聯結AC，過A作AC的垂線，此時的直線與圓C相交于B、D兩點，根據圓的幾何性質可得，線段BD為直線被圓所截得最短弦，此時|AC|，|BC|=5，所以|BD|=4。
即最短弦為4；又直線AC的斜率為，所求的直線方程為，即