Question

【題目】已知拋物線的焦點為，過點，斜率為1的直線與拋物線交于點，，且.

（1）求拋物線的方程；

（2）過點作直線交拋物線于不同于的兩點、，若直線，分別交直線于兩點，求取最小值時直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）直曲聯立表示出拋物線弦長，得到關于的方程，求出，得到拋物線的方程.

（2）直線與拋物線聯立，得到、，再根據題意，得到點和點的坐標，用和表示出，代入、的關系，得到函數，求出最小值.從而得到直線的方程.

（1），直線的方程為，

由，聯立，

得，，

，

，

拋物線的方程為：.

（2）設，，直線的方程為：，

聯立方程組消元得：，

∴，.

∴ .

設直線的方程為，

聯立方程組解得，

又，∴.

同理得.

∴ .

令，，則.

∴ .

∴當即時，取得最小值.

此時直線的方程為，即.