Question

【題目】設數列{an}的前n項和為Sn ， 若 （n∈N*），則稱{an}是“緊密數列”；
（1）若a1=1， ，a3=x，a4=4，求x的取值范圍；
（2）若{an}為等差數列，首項a1 ， 公差d，且0＜d≤a1 ， 判斷{an}是否為“緊密數列”；
（3）設數列{an}是公比為q的等比數列，若數列{an}與{Sn}都是“緊密數列”，求q的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意， 且 ，∴2≤x≤3，

∴x的取值范圍是[2，3]；

（2）解：由題意，an=a1+（n﹣1）d，∴ ，

隨著n的增大而減小，所以當n=1時， 取得最大值，∴ ≤2，

∴{an}是“緊密數列”；

（3）解：由題意得，等比數列{an}的公比q

當q≠1時，所以an=a1qn﹣1，Sn= ， ，

因為數列{an}與{Sn}都是“緊密數列”，所以 ， ，解得 ，

當q=1時，an=a1，Sn=na1，則 =1， ，符合題意，

∴q的取值范圍是 ．

【解析】（1）由題意， 且 ，即可求出x的取值范圍；（2）由題意，an=a1+（n﹣1）d， ，根據“緊密數列”的定義即可證明結論；（3）先設公比是q并判斷出q≠1，由等比數列的通項公式、前n項和公式化簡 ，根據“緊密數列”的定義列出不等式組，再求出公比q的取值范圍．