【題目】長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，點E、F、G分別是DD1、AB、CC1的中點．求異面直線A1E與GF所成角的大小．
【答案】90°
【解析】
連接B1G，EG，B1F，CF，證明∠B1GF(或其補角)就是異面直線A1E與GF所成的角，再解三角形求出∠B1GF＝90°.
連接B1G，EG，B1F，CF.
∵E、G是棱DD1、CC1的中點，
∴A1B1∥EG，A1B1=EG.
∴四邊形A1B1GE是平行四邊形．
∴B1G∥A1E.
∴∠B1GF(或其補角)就是異面直線A1E與GF所成的角．
在Rt△B1C1G中，B1C1＝AD＝1，C1G＝
AA1＝1，
∴B1G＝
.
在Rt△FBC中，BC＝BF＝1，
∴FC＝.
在Rt△FCG中，CF＝，CG＝1，
∴FG＝
.
在Rt△B1BF中，BF＝1，B1B＝2，
∴B1F＝
，在△B1FG中，B1G2＋FG2＝B1F2，
∴∠B1GF＝90°.
因此異面直線A1E與GF所成的角為90°.
數學奧賽暑假天天練南京大學出版社系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設各項均為正數的數列{an}的前n項和為Sn ， 且滿足2 
=an+1（n∈N*）．
（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）若bn=（an+1）2 
，求數列{bn}的前n項和Tn ．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設數列{an}的前n項和為Sn ， 若 
（n∈N*），則稱{an}是“緊密數列”；
（1）若a1=1， 
，a3=x，a4=4，求x的取值范圍；
（2）若{an}為等差數列，首項a1 ， 公差d，且0＜d≤a1 ， 判斷{an}是否為“緊密數列”；
（3）設數列{an}是公比為q的等比數列，若數列{an}與{Sn}都是“緊密數列”，求q的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，三棱柱ABC﹣DEF中，側面ABED是邊長為2的菱形，且∠ABE= 
，BC= 
，四棱錐F﹣ABED的體積為2，點F在平面ABED內的正投影為G，且G在AE上，點M是在線段CF上，且CM= 
CF．
（Ⅰ）證明：直線GM∥平面DEF；
（Ⅱ）求二面角M﹣AB﹣F的余弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設M、N、T是橢圓 
上三個點，M、N在直線x=8上的攝影分別為M1、N1 ．
（Ⅰ）若直線MN過原點O，直線MT、NT斜率分別為k1 ， k2 ， 求證k1k2為定值．
（Ⅱ）若M、N不是橢圓長軸的端點，點L坐標為（3，0），△M1N1L與△MNL面積之比為5，求MN中點K的軌跡方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，若橢圓與圓
：
相交于M,N兩點，且圓E在橢圓內的弧長為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓的上焦點作兩條相互垂直的直線，分別交橢圓于A，B、C，D，求證：
為定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為 
（α為參數），將曲線C1上所有點的橫坐標縮短為原來的 
，縱坐標縮短為原來的 
，得到曲線C2 ， 在以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，直線l的極坐標方程為4ρsin（θ+ 
）+ 
=0．
（1）求曲線C2的極坐標方程及直線l與曲線C2交點的極坐標；
（2）設點P為曲線C1上的任意一點，求點P到直線l的距離的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面為正三角形，E，F分別是A1C1 ， B1C1上的點，且滿足A1E=EC1 ， B1F=3FC1 ． 
（1）求證：平面AEF⊥平面BB1C1C；
（2）設直三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱長均相等，求二面角C1﹣AE﹣B的余弦值．
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