【題目】已知函數
．
（1）若方程
有兩個小于2的不等實根，求實數a的取值范圍；
（2）若不等式
對任意
恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）若函數
在[0，2]上的最大值為4，求實數a的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
或
【解析】試題分析：（1）根據二次函數的圖象與性質得到關于
的不等式組，解出即可；（2）問題轉化為
的任意
，根據
，求出的取值范圍即可；（3）求出函數的對稱軸，通過討論的范圍結合二次函數的性質，求出的范圍即可.
試題解析：（1）方程
有兩個小于2的不等實根
;
（2）由
得
對任意恒成立，則
;
（3）函數
的對稱軸為x=a，則
當a<1時，函數在[0，2]上的最大值為
，符合條件；
當a≥1時，函數在[0，2]上的最大值為
，符合條件；
所以，所求實數a的值為或．
【方法點晴】本題主要考查不等式恒成立問題，屬于難題．不等式恒成立問題常見方法：① 分離參數
恒成立(
可)或
恒成立（
即可）；② 數形結合(
圖象在
上方即可)；③ 討論最值
或
恒成立；④一元二次不等式任意恒成立可用判別式小于零解答.本題（2）是利用方法④ 求得的取值范圍.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
.
（1）若函數
在
上是減函數，求實數
的取值范圍；
（2）令
，是否存在實數
，當
（
是自然常數）時，函數
的最小值是3，若存在，求出
的值；若不存在，說明理由.
（3）當時，證明：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
過點
，離心率為
，
分別為左右焦點.
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）若
上存在兩個點
，橢圓上有兩個點
滿足
三點共線，
三點共線，且
，求四邊形
面積的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數
，
．
（1）若函數
在
處有極值，求函數的最大值；
（2）①是否存在實數
，使得關于
的不等式
在
上恒成立？若存在，求出
的取值范圍；若不存在，說明理由；
②證明：不等式
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】我國的高鐵技術發展迅速，鐵道部門計劃在
兩城市之間開通高速列車，假設列車在試運行期間，每天在
兩個時間段內各發一趟由
城開往
城的列車（兩車發車情況互不影響），
城發車時間及概率如下表所示：
發車 時間 |
|
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|
|
|
|
概率 |
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|
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|
|
若甲、乙兩位旅客打算從城到
城，他們到達
火車站的時間分別是周六的
和周日的
（只考慮候車時間，不考慮其他因素）．
（1）設乙候車所需時間為隨機變量
（單位：分鐘），求
的分布列和數學期望
；
（2）求甲、乙兩人候車時間相等的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，已知點
為平面上的動點，且過點作
的垂線，垂足為
，滿足：
(Ⅰ)求動點的軌跡
的方程；
(Ⅱ)在軌跡上求一點
，使得到直線
的距離最短，并求出最短距離.
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