Question

【題目】設函數，．

（1）若函數在處有極值，求函數的最大值；

（2）①是否存在實數，使得關于的不等式在上恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由；

②證明：不等式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）由的解,即可得出極值點,得出值后,再利用導函數求單調區間；（2）①本題為恒成立問題,利用函數的增減性和端點值來求解,而函數的單調性由導函數的正負來決定；②運用不等式的放縮與基本不等式的性質,證明右邊項時采用了數列的增減性的基本定義來證明,通過說明數列時單調遞減來證明不等式,在證明右側時,采用將裂項的方法,將詳見得到的每一項放縮,最后利用裂項相消來證得不等式成立．

試題解析：解：（1）由已知得：，且函數在處有極值

∴，即，∴

∴．

當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減，

∴函數的最大值為．

（2）①由已知得：

（ⅰ）若，則時，

∴在上為減函數，

∴在上恒成立；

（ⅱ）若，則時，

∴在上為增函數，

∴，不能使在上恒成立；

（ⅲ）若，則時，，

當時，，∴在上為增函數，

此時，∴不能使在上恒成立；

綜上所述，的取值范圍是．

②由以上得：

取得：，令，

則，．

因此

又

故

．