Question

【題目】如圖，過拋物線上一點，作兩條直線分別交拋物線于，，當與的斜率存在且傾斜角互補時：

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若直線在軸上的截距時，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（I）；（Ⅱ）．

【解析】

試題分析：（I）設出，的點坐標，根據，得到，進而根據點在拋物線上，把換成，即可得出結果；（II）由，得出，設直線的方程為，與拋物線聯立可得，又點到直線的距離為，所以，構造關于的函數，求導利用單調性求最值即可．

試題解析：解（Ⅰ）由拋物線過點，得，

設直線的斜率為，直線的斜率為，由、傾斜角互補可知，

即，

將，代入得．

（Ⅱ）設直線的斜率為，由，

得，

由（Ⅰ）得，將其代入上式得．

因此，設直線的方程為，由，消去得，

由，得，這時，，

，又點到直線的距離為，所以，

令，則由，令，得或．

當時，，所以單調遞增，當時，，所以單調遞減，故的最大值為，故面積的最大值為．

（附：，當且僅當時取等號，此求解方法亦得分）