Question

【題目】如果函數在定義域的某個區間上的值域恰為，則稱函數為上的等域函數，稱為函數的一個等域區間．

（1）若函數，，則函數存在等域區間嗎？若存在，試寫出其一個等域區間，若不存在，說明理由

（2）已知函數，其中且，，．

（ⅰ）當時，若函數是上的等域函數，求的解析式；

（ⅱ）證明：當，時，函數不存在等域區間．

Answer 1

【答案】（1）；見解析（2）（ⅰ）（ⅱ）見解析

【解析】

（1）由題意，分析等域區間定義，寫出函數的等域區間；

（2）（ⅰ）當時，分析函數單調性，分類討論等域區間，即可求解；

（ⅱ）由題意，根據，，判斷函數為減函數，再由反證法，假設函數存在等域區間，推導出矛盾，即可證明不存在等域區間.

解：（1）函數存在等域區間，如；

（2）已知函數，其中且，，D

（ⅰ）當時，

若函數是上的等域函數，

當時，為增函數，

則得，此時．

當時，為減函數，

則，得，不滿足條件．

即．

（ⅱ）證明：當，時，，即，

則為減函數，

假設函數存在等域區間，

則，

兩式作差，

即，

，，，，，

則，

等式不成立，即函數不存在等域區間．