Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形是菱形，是矩形，平面平面，，，，為的中點．

（1）求證：；

（2）在線段上是否存在點，使二面角的大小為，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） 見解析（2）

【解析】分析：(1)結合題中所給的條件，利用面面垂直的條件以及題中所給的特殊幾何圖形，得到相應的垂直關系，之后借助于線面垂直來得到線線垂直.

(2)對于存在性問題，可先假設存在，即假設線段上存在點，使二面角的大小為，再通過建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標，結合向量的數量積求出二面角的大小，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在，否則存在.

詳解：（1）證明：連接，

∵，，∴△為等邊三角形，

又∵為中點，∴，

又∵，∴，

∵為矩形，∴，

又∵平面平面，平面平面 ，平面，

∴平面，

又∵平面，∴，

又∵，，

∴平面，

∵平面，

∴．

（2）由（1）知平面，

∵、平面，

∴，，

又∵，以為坐標原點，、、分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則，，，，，

設，，，，

設平面的一個法向量為，，

則即令，則，

由圖形知，平面的一個法向量，

由題意知，

即，即，

∵，∴．